Contextualització

Dades de la matèria

Any acadèmic

2012-13

Nom

ÀLGEBRA LINEAL

Codi Assignatura/Matèria

102100

Centre

Escola Politècnica Superior

Departament

MATEMATICA

Cicle

Tipologia

TRONCAL

Extensió

2N Q AVALUACIO CONTINUADA

Crèdits ECTS

6.0

Hores

150.0

Percentatge d'ús de l'Idioma

Idioma	Percentatge d'ús
Anglès	0.0
Castellà	0.0
Català	100.0

Recomanacions (màx. 4000 caràcters)

Assignatura que requereix un treball continuat durant tot el semestre a fi d'assolir els objectius de la
mateixa. Es requereix pensament crític i capacitat d'abstracció.

Es poden trobar reculls de resolucions d’exàmens corresponents a cursos anteriors (d’Enginyeria
Técnica Industrial) a la Copisteria del Campus de Cappont (edifici de l'Aulari) i al Consell de
l’Estudiantat de la EPS: http://www.consell-eps.udl.cat/

Es recomana visitar de manera freqüent l'espai del Campus Virtual associat a l'assignatura ja que
s'hi anuncia tota la informació corresponent.

Assignatura/matèria en el conjunt del pla d'estudis (màx. 4000 caràcters)

Assignatura que es cursa en el segon quadrimestre del 1r curs de l'ensenyament. Pertany al mòdul "Formació bàsica".

Requisits per cursar-la

Prerequisits

Corequisits

Professorat

Nom	Correu	Crèdits teòrics
Jaume Giné Mesa	gine@matematica.udl.cat	16.8
Susana Maza Sabido	smaza@matematica.udl.cat	3.6
Isaac Garcia	garcia@matematica.udl.cat	1.2

Competències

Competències estratègiques de la Universitat de Lleida

Correcció en l'expressió oral i escrita
Objectius
- Analit¡zar si un conjunt de vectors és linealment independent o no
- Descriure espais i subespais vectorials
- Aplicar la fòrmula de Grassman
- Determinar els valors i vectors propis associats a un endomorfisme
- Discutir i resoldre sistemes lineals d'equacions
- Raonar i contrastar solucions
- Sintetitzar l'enunciat d'un problema a fi d'expressar-lo matemàticament
- Raonar i analitzar els resultats obtinguts a partir del càlcul

Competències específiques de la titulació

Capacitat per a la resolució dels problemes matemàtics que puguin plantejar-se en l'enginyeria. Aptitud per aplicar els coneixements sobre: àlgebra lineal; geometria; geometria diferencial, càlcul diferencial i integral; equacions diferencials i en derivades parcials; mètodes numèrics, algorítmica, numèrica, estadística i optimització.
Objectius
- Operar amb matrius: suma, producte, transposició i inversa
- Realitzar transformacions elementals de Gauss a fi de determinar el rang d'una matriu
- Calcular determinats de matrius quadrades de qualsevol ordre
- Discutir i resoldre sistemes lineals d'equacions
- Resoldre sistemes mitjançant el mètode de Cramer
- Determinar si un vector és combinació lineal d'un conjunt de vectors
- Analitzar si un conjunt de vectors és linealment independent o no
- Descriure espais i subespais vectorials
- Calcular les components d'un vector en una base. Calcular i aplicar la matriu de canvi de base
- Determinar la dimensió d'un subespai vectorial
- Realitzar operacions amb subespais: intersecció, suma, suma directa.
- Aplicar la fòrmula de Grassman
- Determinar aplicacions lineals a partir de la seva imatge en una base
- Calcular nucli i la imatge d'una aplicació lineal
- Relacionar l'expressió explícita d'una aplicació lineal amb la seva expressió matricial
- Fer càlculs d'aplicacions lineals en diferentes bases. Aplicar la matriu de canvi de base
- Realitzar operacions amb aplicacions lineals: suma, producte per un escalar, composició
- Determinar els valors i vectors propis d'un endomorfisme
- Usar el Teorema de Cayley-Hamilton
- Determinar si un endomorfisme diagonalitza o no
- Aplicar la diagonalització d'endomorfismes per resoldre potències de matrius
- Aplicar la diagonalització d'endormorfismes per resoldre recurrències lineals
- Aplicar la diagonalització d'endomorfismes per resoldre sistemes d'equacions lineals
- Clasificar una forma bilineal
- Expressar la forma quadràtica com suma de quadrats
- Aplicar le producte escalar de vectors al càlcul de distàcies i angles
- Determinar ortogonalitat entre vectors
- Aplicar el procès d'ortonormalització de Gram-Schimdt al càlcul de bases ortonormals
- Raonar i contrastar solucions
- Sintetitzar l'enunciat d'un problema a fi d'expressar-lo matemàticament
- Utilitzar les tècniques matemàtiques per a resoldre problemes
- Raonar i analitzar els resultats obtinguts a partir del càlcul

Competències transversals de la titulació

Capacitat de reunir i interpretar dades rellevants, dins la seva àrea d'estudi, per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes rellevants d'índole social, científica o ètica.
Objectius
- Aplicar el procès d'ortonormalització de Gram-Schmidt al càlcul de bases ortonormals
- Raonar i contrastar solucions
- Determinar si un vector és combinació lineal d'un conjunt de vectors
- Analitzar si un conjunt de vectors és linealment independent o no
- Descriure espais i subespais vectorials
- Determinar la dimensió d'un subespai vectorial
- Realitzar operacions amb subespais: intersecció, suma, suma directa
- Aplicar la fòrmula de Grassman
- Determinar aplicacions lineals a partir de la seva imatge en una base
- Calcular el nucli i la imatge d'una aplicació lineal
- Determinar els valors i vectors propis associats a un endormorfisme
- Aplicar el producte escalar de vectors al càlcul de distàncies i angles
- Determinar ortogonalitat entre vectors

Capacitat d'anàlisi i síntesi.
Objectius
- Discutir i resoldre sistems lineals d'equacions
- Resoldre sistemes mitjançant el mètode de Cramer
- Analitzar si un conjunt de vectors és linealment independent o no
- Usar el Teorema de Cayley-Hamilton
- Aplicar el producte escalar de vectors al càlcul de distàncies i angles
- Determinar ortogonalitat entre vectors
- Raonar i constrastar solucions
- Sintetitzar l'enunciat d'un problema a fi d'expressar-lo matemàticament
- Raonar i analitzar els resultats obtinguts a partir del càlcul

Capacitat de resolució de problemes i elaboració i defensa d'arguments dins la seva àrea d'estudis.
Objectius
- Aplicar la diagonalització d'endomorfismes per resoldre potències de matrius
- Aplicar la diagonalització d'endomorfismes per resoldre recurrències lineals
- Aplicar la diagonalització d'endomorfismes per resoldre sistemes d'equacions lineals
- Determinar si un endomorfisme diagonalitza o no
- Operar amb matrius: suma, producte, transposició i inversa
- Realitzar transformacions elementals de Gauss a fi de determinar el rang d'una matriu
- Calcular determinats de matrius quadrades de qualsevol ordre
- Discutir i resoldre sistemes lineals d'equacions
- Resoldre mitjançant el mètode de Cramer
- Determinar si un vector és combinació lineal d'un conjunt de vectors
- Analitzar si un conjunt de vectors és linealment independent o no
- Descriure espais i subespais vectorials
- Calcular les components d'un vector en bases diferents. Aplicar la matriu de canvi de base
- Determinar la dimensió d'un subespai
- Realitzar operacions amb subespais: intersecció, suma, suma directa
- Aplicar la fòrmula de Grassman
- Determinar aplicacions lineals a partir de la seva imatge en una base
- Calcular el nucli i la imatge d'una aplicació lineal
- Fer cálculs d'aplicacions lineals en diferents bases. Aplicar la matriu de canvi de base
- Realitzar operacions amb aplicacions lineals: suma, producte per un escalar, composició
- Determinar els valors i vectors propis associats a un endomorfisme
- Usar el Teorema de Cayley-Hamilton
- Aplicar el producte escalar de vectors al càlcul de distàncies i angles
- Determinar ortogonalitat entre vectors
- Aplicar el procès d'ortonormalització de Gram-Schmidt al càlcul de bases ortonormals
- Raonar i contrastar solucions
- Sintetitzar l'enunciar d'un problema a fi d'expressar-lo matemàticament
- Utilitzar tècniques matemàtiques per a resoldre problemes
- Raonar i analitzar els resultas obtinguts a partir del càlcul

Capacitat per a l'abstracció i el raonament crític, lògic i matemàtic.
Objectius
- Realitzar transformacions elementals de Gauss a fi de determinar el rang d'una matriu
- Discutir i resoldre un sistemes lineals d'equacions
- Determinar si un vector és combinació lineal d'un conjunt de vectors
- Analitzar si un conjunt de vectors es linealment independent o no
- Aplicar la fòrmula de Grassman
- Determinar aplicacions lineals a partir de la seva imatge en una base
- Fer càlculs d'aplicacions lineals en diferents bases. Aplicar la matriu de canvi de base
- Usar el Teorema de Cayley-Hamilton
- Aplicar el producte escalar de vectors al càlcul de distàncies i angles
- Determinar ortogonalitat entre vectors
- Raonar i contrastar solucions
- Sintetitzar l'enunciat d'un problema a fi d'expressar-lo matemàticament
- Raonar i analitzar els resultats obtinguts a partir del càcul

Continguts

Continguts de la matèria

1. Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals.

1.1 Tipus de matrius i operacions amb matrius.

1.2 Matrius inversibles.

1.3 Determinant d'una matriu quadrada d'ordre n. Casos n=2, n=3 i n>3.

1.4 Rang d'una matriu.

1.5 Transformacions elementals per files. Mètode d'eliminació de Gauss.

1.6 Expresió matricial d'un sistema d'equacions lineals.

1.7 Teorema de Rouché-Frobenius.

1.8 Sistemes de Cramer.

2. Espais vectorials.

2.1 Definició, propietats i exemples.

2.2 Combinació lineal: dependència i independència lineals.

2.3 Sistema generador.

2.4 Base d'un espai vectorial: definició, dimensió, components.

2.5 Subespai vectorial. Varietats lineals.

2.5.1 Descripció mitjançant equacions i mitjançant generadors.

2.5.2 Transformacions de Gauss.

2.5.3 Base i dimensió.

2.6 Canvis de base: Matriu de canvi de base.

2.7 Operacions amb subespais.

2.7.1 Contenció i igualtat.

2.7.2I ntersecció i suma.

2.7.3 Fòrmula de Grassman.

2.7.4 Suma directa i complementaris.

3. Aplicacions lineals.

3.1 Definició i propietats d'una aplicació lineal.

3.2 Determinació per la imatge en una base.

3.3 Imatge i nucli d'una aplicació lineal.

3.4 Matriu associada a una aplicació lineal.

3.5 Canvis de base en una aplicació lineal. Matrius semblants.

3.6 Operacions amb aplicacions lineals.

3.6.1 Suma d'aplicacions.

3.6.2 Producte per un escalar.

3.6.3 Composició d'aplicacions.

4. Diagonalització d'endomorfismes.

4.1 Matriu diagonal: valors i vectors propis.

4.2 Polinomi característic d'un endomorfisme: definició icàlcul.

4.3 Teorema de Cayley-Hamilton.

4.4 Multiplicitat algebraica.

4.5 Subespai generat per un vap: multiplicitat geomètrica.

4.6 Caracterització d'endomorfismes diagonalitzables.

4.7 Aplicacions de la diagonalització: Potències de matrius, Recurrències lineals i Sistemes d’equacions diferencials lineals.

5. Formes bilineals i formes quadràtiques.

5.1. Propietats del producte escalar ordinari a Rn. Conceptede forma bilineal.

5.2. Matriu associada a una forma bilineal en una base. Concepted´ortogonalitat.

5.3. Formes bilineals simètriques: Mètodede Gauss per a trobar una base ortogonal. Procès d'ortonormalització de Gram-Schmidt.

5.4. Definició de rang i signatura. Mètodes efectius de càlcul d´aquests invariants.

5.5. Productes escalars. Definició de normes associades. Bases ortonormals. Aplicacions a la geometria.

5.6. Forma quadràtica associada a una forma bilineal.

5.7. Aplicacions:Expressiód´una forma quadràtica com a combinació lineal de quadrats.

5.8 Classificació de còniques i quadriques.

Bibliografia

Bibliografia recomanada

BIBLIOGRAFIA BÀSICA

H.Anton, Introducción al Álgebra Lineal., Ed. Limusa, México, 1997.

I.A.García i J. Giné, Problemas resueltos de Álgebra Lineal. Col.lecció Eines, no.45. Ed. de la UdL. Lleida. 2003.

BIBLIOGRAFIA RECOMANADA

M.Alsina, J.M. Miret i A. Rio, Càlcul i Àlgebra. Resums i Problemes (ambsolucions), 1991.

J.Arvesú, F. Marcellán i J. Sánchez, Problemas resueltos de álgebra lineal.,Madrid, International Thomson, 2005.

C.Alsina i E. Trillas, Lecciones de Álgebra y Geometría. Editorial Gustavo Gili,S.A., Barcelona, 1984.

M.Castellet i I. Llerena, Àlgebra lineal i geometria., Publicacions de la UAB, Barcelona, 1988.

P.M.Cohn, Elements of linear algebra, Chapman and Hall, London, 1994.

E.Domínguez et al., Problemas de Álgebra Lineal, Bellisco, Madrid, 1998.

M.T.García González, A. Ruiz Oliarria, M.M. Saiz Jarabo, Álgebra. Teoría y ejercicios. Ed. Paraninfo, Madrid, 1993.

J.Gimbert i J.M. Miret, Problemes d'Àlgebra per a Ciències de la Computació. Col.lecció Eines, no. 20. Ed. de la UdL. Lleida. 1997.

S.Lang, Introducción al Álgebra Lineal. Ed. Addison-Wesley, Wilmington, Delaware,1990.

J. Rojo i I. Martín, Ejercicios y problemas de ÁlgebraLineal, Ed. Vector Ediciones, Madrid, 1989.