Contextualització

Dades de la matèria

Any acadèmic

2010-11

Nom

ÀLGEBRA LINEAL

Codi Assignatura/Matèria

101401

Centre

Escola Politècnica Superior

Departament

MATEMATICA

Cicle

Tipologia

TRONCAL

Extensió

2N Q AVALUACIO CONTINUADA

Crèdits ECTS

6.0

Hores

150.0

Percentatge d'ús de l'Idioma

Idioma	Percentatge d'ús
Anglès	0.0
Castellà	0.0
Català	100.0

Recomanacions (màx. 4000 caràcters)

Assignatura que requereix un treball continuat durant tot el semestre a fi d'assolir els objectius de la mateixa. Es requereix pensament crític i capacitat d'abstracció.
Es poden trobar reculls dels següents materials didàctics a la Copisteria del Campus de Cappont (edifici de l'Aulari) i al Campus Virtual: http://cv.udl.cat

-  Col·lecció d’enunciats d’exercicis amb les solucions numèriques.
-  Resolucions d'exàmens corresponents a cursos anteriors (d'Arquitectura Tècnica).

Es recomana visitar de manera freqüent l'espai del Campus Virtual associat a l'assignatura ja que s'hi anuncia tota la informació corresponent.

Assignatura/matèria en el conjunt del pla d'estudis (màx. 4000 caràcters)

Assignatura que s’imparteix durant el 2on semestre del 1er curs de la titulació. Correspon al Mòdul de “Formació Bàsica”, concretament a la matèria "Fonaments científics"

Requisits per cursar-la

Prerequisits

Corequisits

Professorat

Nom		Correu	Horari de consulta	Crèdits teòrics	Crèdits pràctics
Maria Teresa Grau Montaña		mtgrau@matematica.udl.cat	A concertar	8.4

Competències

Competències estratègiques de la Universitat de Lleida

Correcció en l'expressió oral i escrita
Objectius
- Discutir i resoldre sistemes lineals d'equacions.
- Analitzar si un conjunt de vectors és linealment dependent o no.
- Descriure espais i subespais vectorials.
- Aplicar la fòrmula de Grassman.
- Determinar els valors i vectors propis associats a un endomorfisme i interpretar-los geomètricament.
- Aplicar el càlcul vectorial a la descripció geomètrica d'objectes.
- Classificar còniques i quàdriques a partir de la seva equació.
- Raonar i contrastar solucions.
- Sintetitzar l'enunciat d'un problema a fi d'expressar-lo matemàticament.
- Raonar i analitzar els resultats obtinguts a partir del càlcul.

Competències específiques de la titulació

Aptitud per utilitzar els coneixements aplicats relacionats amb el càlcul numèric i infinitesimal, l'àlgebra lineal, la geometria analítica i diferencial, i les tècniques i mètodes probabilístics i d'anàlisi estadística.
Objectius
- Operar amb matrius: suma, producte, transposició i inversa.
- Realitzar transformacions elementas de Gauss a fi de detreminar el rang d'una matriu.
- Calcular determinants de matrius quadrades de qualsevol ordre.
- Discutir i resoldre sistemes lineals d'equacions.
- Resoldre sistemes mitjançant el mètode de Cramer.
- Determinar si un vector és combinació lineal d'un conjunt de vectors.
- Analitzar si un conjunt de vectors és linealment dependent o no.
- Descriure espais i subespais vectorials.
- Fer càlculs vectorials en diferents bases. En particular, calcular les components d'un vector en bases diferents. Calcular i aplicar la matriu de canvi de base.
- Determinar la dimensió d'un subespai vectorial.
- Realitzar operacions amb subespais: intersecció, suma, suma directa.
- Aplicar la fòrmula de Grassman.
- Determinar aplicacions lineals a partir de la seva imatge en una base.
- Calcular el nucli i la imatge d'una aplicació lineal.
- Relacionar l'expressió explícita d'una aplicació lineal amb la seva expressió matricial.
- Fer càlculs d'aplicacions lineals en diferents bases. Aplicar la matriu de canvi de base a aquests càlculs.
- Realitzar operacions amb aplicacions lineals: suma, producte per un escalar, composició.
- Determinar els valors i vectors propis associats a un endomorfisme i interpretar-los geomètricament.
- Usar el Teorema de Cayley - Hamilton per estudiar el polinomi característic d'un endomorfisme.
- Aplicar el producte escalar habitual de vectors al càlcul de distàncies i angles.
- Determinar ortogonalitat entre vectors.
- Aplicar el procès d'ortonormalització de Gram-Schmidt al càlcul de bases ortonormals.
- Calcular volums de paral.lelepípedes mitjançant el determinant de Gram.
- Determinar, classificar i construir mitjançant matrius transformacions ortogonals en el pla i en l'espai.
- Aplicar el càlcul vectorial a la descripció geomètrica d'objectes.
- Classificar còniques i quàdriques a partir de la seva equació.
- Calcular els invariants d'una varietat quadràtica.
- Raonar i contrastar solucions.
- Sintetitzar l'enunciat d'un problema a fi d'expressar-lo matemàticament.
- Utilitzar les tècniques matemàtiques per a resoldre problemes.
- Raonar i analitzar els resultats obtinguts a partir del càlcul.

Competències transversals de la titulació

Capacitat de reunir i interpretar dades rellevants, dintre de la seva àrea d'estudi, per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes rellevants d'índole social, científica o ètica.
Objectius
- Determinar si un vector és combinació lineal d'un conjunt de vectors.
- Analitzar si un conjunt de vectors és linealment dependent o no.
- Descriure espais i subespais vectorials.
- Determinar la dimensió d'un subespai vectorial.
- Realitzar operacions amb subespais: intersecció, suma, suma directa.
- Aplicar la fòrmula de Grassman.
- Determinar aplicacions lineals a partir de la seva imatge en una base.
- Calcular el nucli i la imatge d'una aplicació lineal.
- Determinar els valors i vectors propis associats a un endomorfisme i interpretar-los geomètricament.
- Aplicar el producte escalar habitual de vectors al càlcul de distàncies i angles.
- Determinar ortogonalitat entre vectors.
- Aplicar el procès d'ortonormalització de Gram-Schmidt al càlcul de bases ortonormals.
- Determinar, classificar i construir mitjançant matrius transformacions ortogonals en el pla i en l'espai.
- Aplicar el càlcul vectorial a la descripció geomètrica d'objectes.
- Classificar còniques i quàdriques a partir de la seva equació.
- Raonar i contrastar solucions.

Capacitat de resolució de problemes i elaboració i defensa d'arguments dintre de la seva àrea d'estudis.
Objectius
- Operar amb matrius: suma, producte, transposició i inversa.
- Realitzar transformacions elementas de Gauss a fi de determinar el rang d'una matriu.
- Calcular determinants de matrius quadrades de qualsevol ordre.
- Discutir i resoldre sistemes lineals d'equacions.
- Resoldre sistemes mitjançant el mètode de Cramer.
- Determinar si un vector és combinació lineal d'un conjunt de vectors.
- Analitzar si un conjunt de vectors és linealment dependent o no.
- Descriure espais i subespais vectorials.
- Fer càlculs vectorials en diferents bases. En particular, calcular les components d'un vector en bases diferents. Calcular i aplicar la matriu de canvi de base.
- Determinar la dimensió d'un subespai vectorial.
- Realitzar operacions amb subespais: intersecció, suma, suma directa.
- Aplicar la fòrmula de Grassman.
- Determinar aplicacions lineals a partir de la seva imatge en una base.
- Calcular el nucli i la imatge d'una aplicació lineal.
- Fer càlculs d'aplicacions lineals en diferents bases. Aplicar la matriu de canvi de base a aquests càlculs.
- Realitzar operacions amb aplicacions lineals: suma, producte per un escalar, composició.
- Determinar els valors i vectors propis associats a un endomorfisme i interpretar-los geomètricament.
- Usar el Teorema de Cayley - Hamilton per estudiar el polinomi característic d'un endomorfisme.
- Aplicar el producte escalar habitual de vectors al càlcul de distàncies i angles.
- Determinar ortogonalitat entre vectors.
- Aplicar el procès d'ortonormalització de Gram-Schmidt al càlcul de bases ortonormals.
- Calcular volums de paral.lelepípedes mitjançant el determinant de Gram.
- Determinar, classificar i construir mitjançant matrius transformacions ortogonals en el pla i en l'espai.
- Aplicar el càlcul vectorial a la descripció geomètrica d'objectes.
- Classificar còniques i quàdriques a partir de la seva equació.
- Raonar i contrastar solucions.
- Sintetitzar l'enunciat d'un problema a fi d'expressar-lo matemàticament.
- Utilitzar les tècniques matemàtiques per a resoldre problemes.
- Raonar i analitzar els resultats obtinguts a partir del càlcul.

Capacitat d'anàlisi i síntesi.
Objectius
- Discutir i resoldre sistemes lineals d'equacions.
- Resoldre sistemes mitjançant el mètode de Cramer.
- Analitzar si un conjunt de vectors és linealment dependent o no.
- Usar el Teorema de Cayley - Hamilton per estudiar el polinomi característic d'un endomorfisme.
- Aplicar el producte escalar habitual de vectors al càlcul de distàncies i angles.
- Determinar ortogonalitat entre vectors.
- Determinar, classificar i construir mitjançant matrius transformacions ortogonals en el pla i en l'espai.
- Classificar còniques i quàdriques a partir de la seva equació.
- Raonar i contrastar solucions.
- Sintetitzar l'enunciat d'un problema a fi d'expressar-lo matemàticament.
- Raonar i analitzar els resultats obtinguts a partir del càlcul.

Capacitat per a l'abstracció i el raonament crític, lògic i matemàtic.
Objectius
- Realitzar transformacions elementas de Gauss a fi de detreminar el rang d'una matriu.
- Discutir i resoldre sistemes lineals d'equacions.
- Determinar si un vector és combinació lineal d'un conjunt de vectors.
- Analitzar si un conjunt de vectors és linealment dependent o no.
- Aplicar la fòrmula de Grassman.
- Determinar aplicacions lineals a partir de la seva imatge en una base.
- Fer càlculs d'aplicacions lineals en diferents bases. Aplicar la matriu de canvi de base a aquests càlculs.
- Usar el Teorema de Cayley - Hamilton per estudiar el polinomi característic d'un endomorfisme.
- Aplicar el producte escalar habitual de vectors al càlcul de distàncies i angles.
- Determinar ortogonalitat entre vectors.
- Determinar, classificar i construir mitjançant matrius transformacions ortogonals en el pla i en l'espai.
- Raonar i contrastar solucions.
- Sintetitzar l'enunciat d'un problema a fi d'expressar-lo matemàticament.
- Raonar i analitzar els resultats obtinguts a partir del càlcul.

Continguts

Continguts de la matèria

1. Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals.

1.1 Tipus de matrius i operacions amb matrius.

1.2 Matrius inversibles.

1.3 Determinant d'una matriu quadrada d'ordre n. Casos n=2, n=3 i n>3.

1.4 Rang d'una matriu.

1.5 Transformacions elementals per files. Mètode d'eliminació de Gauss.

1.6 Expresió matricial d'un sistema d'equacions lineals.

1.7 Teorema de Rouché-Frobenius.

1.8 Sistemes de Cramer.

2. Espais vectorials.

2.1 Definició, propietats i exemples.

2.2 Combinació lineal: dependència i independència lineals.

2.3 Sistema generador.

2.4 Based'un espai vectorial: definició, dimensió, components.

2.5 Subespai vectorial. Varietats lineals.

2.5.1 Descripció mitjançant equacions i mitjançant generadors.

2.5.2 Transformacions de Gauss.

2.5.3 Base i dimensió.

2.6 Canvisde base: Matriu de canvi de base.

2.7 Operacions amb subespais.

2.7.1 Contenció i igualtat.

2.7.2 Intersecció i suma.

2.7.3 Fòrmula de Grassman.

2.7.4 Suma directa i complementaris.

3. Aplicacions lineals i diagonalitzaciód'endomorfismes.

3.1 Definició i propietats d'una aplicació lineal.

3.2 Determinació per la imatge en una base.

3.3 Imatgei nucli d'una aplicació lineal.

3.4 Matriuassociada a una aplicació lineal.

3.5 Canvisde base en una aplicació lineal. Matrius semblants.

3.6 Operacions amb aplicacions lineals.

3.6.1 Suma d'aplicacions.

3.6.2 Producte per un escalar.

3.6.3 Composició d'aplicacions.

3.7 Matriudiagonal: valors i vectors propis.

3.8 Polinomi característic d'un endomorfisme: definició i càlcul.

3.9 Teorema de Cayley-Hamilton.

3.10 Multiplicitat algebraica.

3.11 Subespai generat per un vap: multiplicitat geomètrica.

3.12 Caracterització d'endomorfismes diagonalitzables.

4. Geometria euclideana

4.1 Producte escalar.

4.2 Normainduïda per un producte escalar.

4.3 Distàncies i angles.

4.4 Conceptes d'ortogonal i ortonormal.

4.5 Procèsd'ortonormalització de Gram-Schmidt.

4.6 Determinant de Gram. Volum d'un paral.lelepípede.

4.7 Producte vectorial.

4.8 Transformacions ortogonals; en el pla i en l'espai.

4.9 Isometries o moviments rígids.

5. Classificació de còniques i quàdriques.

5.1 Endomorfismes simètrics i producte escalar.

5.2 Formesbilineals simètriques.

5.3 Rang isignatura: definició i càlcul d'aquests invariants.

5.4 Formesquadràtiques.

5.5 Varietats quadràtiques: equació canònica.

5.6 Classificació euclídea de còniques i quàdriques.

5.7 Altresexemples de corbes. Trajectòries. Corbes parametritzades.

5.8 Homotècies.

5.9 Semblances.

Bibliografia

Bibliografia recomanada

BIBLIOGRAFIA BÀSICA

H. Anton, Introducción al Álgebra Lineal., Ed. Limusa, México, 1997.

J. Arvesú,F. Marcellán y J. Sánchez, Problemas resueltos de álgebra lineal., Madrid,International Thomson, 2005.

R. Benavent, Cuestiones sobre Álgebra Lineal, Paraninfo, 2010.

J. de Burgos, Álgebra Lineal, García-Maroto editores, 2007.

B. deDiego, E. Gordillo y G. Valeiras, Problemas de álgebra lineal: 427 problemastotalmente resueltos, Deimos DL, Madrid, 1986.

E.Domínguez et al., Problemas de Álgebra Lineal, Bellisco, Madrid, 1998.

S.K.Stein, Cálculo y geometria analítica, McGraw-Hill, Mexico, 1982.

BIBLIOGRAFIA RECOMANADA

M. Alsina, J.M. Miret i A. Rio, Càlcul i Àlgebra. Resums i Problemes (amb solucions),1991.

C. Alsina y E. Trillas, Lecciones de Álgebra y Geometría. Editorial Gustavo Gili, S.A.,Barcelona, 1984.

C. Alsina et al., Càlcul per a l'arquitectura. Barcelona, Edicions UPC, 2008.

M.Castellet i I. Llerena, Àlgebra lineal i geometria., Publicacions de la UAB, Barcelona, 1988.

P.M. Cohn, Elements of linear algebra, Chapman and Hall, London, 1994.

I.A.García y J. Giné, Problemas resueltos de Álgebra Lineal. Col.lecció Eines, no.45. Ed. de la UdL. Lleida. 2003.

M.T. García González, A. Ruiz Oliarria, M.M. Saiz Jarabo, Álgebra. Teoría yejercicios. Ed. Paraninfo, Madrid, 1993.

J. Gimbert i J.M. Miret, Problemes d'Àlgebra per a Ciències de la Computació. Col.leccióEines, no. 20. Ed. de la UdL. Lleida. 1997.

S. Lang, Introducción al Álgebra Lineal. Ed. Addison-Wesley, Wilmington, Delaware, 1990.

R.E.Larson, Cálculo y geometría analítica, McGraw-Hill, Madrid, 1982.

J. Moreno (coord.), Problemas resuletos de Matemáticas para la edificación y otras ingenierías, Paraninfo, 2011.

J. Rojo y I. Martín, Ejercicios y problemas de Álgebra Lineal, Ed.Vector Ediciones, Madrid, 1989.